«Le Temps» publie les énoncés des quarts de finale du Championnat des jeux mathématiques et logiques, qui en est cette année à sa 39e édition. L’occasion de tester son raisonnement de manière ludique, qu’on soit grand ou petit
Nostalgiques de l’arithmétique, passionnés des probabilités et autres fanatiques de logique, vous allez être comblés. Comme chaque année à pareille époque, Le Temps s’associe à la Fédération suisse des jeux mathématiques (FSJM) pour vous proposer ci-dessous une série d’exercices ludiques, adaptés aux enfants en âge scolaire comme aux adultes. Il vous suffit de déterminer votre catégorie* afin de savoir quels énoncés sont adaptés à votre niveau. Il y a de quoi mettre au défi toute la famille rassemblée autour du sapin de Noël.
Ces énoncés correspondent aux quarts de finale du Championnat des jeux mathématiques et logiques, une compétition populaire organisée chaque année au niveau européen et au-delà, qui en est à sa 39e édition. Au menu, entre autres: un labyrinthe, un aquarium rempli de pieuvres, une sombre affaire de jus de pomme et une histoire d’amis qui choisissent leur métier en fonction de l’initiale de leur prénom («Policière» aurait convenu à l’auteure de ces lignes). Aucun matériel n’est nécessaire, à part éventuellement une feuille de papier et un crayon pour vous aider dans vos réflexions.
Si vous souhaitez participer au championnat, et peut-être poursuivre votre parcours jusqu’à la finale internationale qui se tiendra fin août en Tunisie, vous pouvez vous rendre sur le site de la FSJM afin de reporter vos réponses dans un formulaire en ligne (la participation est gratuite). Mais vous pouvez aussi plancher sur ces énoncés pour le seul plaisir de vos neurones.
Tous les participants commencent par les premiers exercices et poursuivent ensuite plus ou moins loin, en fonction de leur niveau d’avancement scolaire (CE: élèves de 5e année; CM: élèves de 6e et 7e années; C1: élèves de 8e et 9e années; C2: élèves de 10e et 11e années; L1: étudiants en école post-obligatoire; GP: adultes grand public; L2: étudiants en hautes écoles; HC: adultes en haute compétition).
Nous publierons les résultats sur cette page au mois de février. Bonne chance à tous dans la résolution de ces énigmes!
1) Deux dates
Mathias dispose de ces 12 cartes. En 2025, la première date de l’année qu’il pourra former en utilisant deux cartes pour le jour, deux cartes pour le mois et quatre pour l’année sera le 13 janvier: 13 01 2025.
Quelle sera la dernière date de 2025 qu’il pourra former en utilisant huit de ces douze cartes?
2) Intersections
Si on trace deux cercles et une droite, on obtient au maximum six points d’intersection.
Combien de points d’intersection obtiendrait-on au maximum en traçant deux cercles et deux droites?
Note: il faut compter les intersections entre deux droites, entre deux cercles, et entre une droite et un cercle.
3) Jus de pomme
Une bouteille de jus de pomme à moitié pleine pèse exactement autant que quatre bouteilles vides identiques du même jus de pomme.
Si on posait une bouteille pleine de ce jus de pomme sur le plateau de droite de la balance, combien de bouteilles vides faudrait-il placer sur le plateau de gauche pour équilibrer la balance?
4) L’aquarium
Dans un aquarium vivent des pieuvres, qui ont huit bras, et des étoiles de mer à cinq bras.
Combien y a-t-il d’étoiles de mer dans l’aquarium, sachant que le nombre total de bras de tous les animaux est égal à 41?
5) Labyrinthe
Dans ce labyrinthe, les pièces sont numérotées de 0 à 15. Lorsqu’on passe d’une pièce à l’autre par une porte, une alarme se déclenche sauf
- si le numéro de la pièce dans laquelle on entre est égal à celui de la pièce que l’on quitte augmenté de 3;
- ou si le numéro de la pièce dans laquelle on entre est égal à celui de la pièce que l’on quitte diminué de 13.
On entre dans le labyrinthe par la pièce n° 0 et on en sort par la pièce n° 1.
Combien de pièces aura-t-on traversées (y compris la pièce 0 et la pièce 1) si on n’a déclenché aucune alarme?
Fin pour la catégorie CE (élèves de 5e année).
6) Les quatre amis
Annabelle, Bertrand, Clarisse et Damien sont quatre amis.
Chacun d’eux se destine à un métier précis: archéologue, bibliothécaire, cardiologue, et Bertrand veut devenir dentiste. Une seule de ces personnes se destine au métier qui a la même initiale que son prénom, mais ce n’est pas Annabelle. D’ailleurs, Annabelle ne voudrait surtout pas travailler dans le domaine médical.
Quels sont les métiers choisis par Annabelle et par Damien?
7) Tr’adition
Placez les nombres 1, 2, 3, 4, 5, 7 dans les cases suivantes de telle sorte que dans trois cases quelconques placées côte à côte, l’un des nombres est égal à la somme des deux autres, et que le premier chiffre soit plus petit que le dernier.
8. Donnez-nous le LA
Dans cette addition codée, des lettres différentes remplacent toujours des chiffres différents et un même chiffre est toujours remplacé par la même lettre. De plus, le premier chiffre d’un nombre à plusieurs chiffres ne peut être un 0.
`(\ \ \ \ \ +\ \ LA)/(=\ 2\ 0\ 2\ 5`
Fin pour la catégorie CM (élèves de 6e et 7e années).
Attention! Pour chacun des problèmes suivants, vous devez écrire le nombre de ses solutions, et donner la solution s’il n’y en a qu’une, ou deux solutions s’il y en a plus d’une. Pour tous les problèmes susceptibles d’avoir plusieurs solutions, l’emplacement est prévu pour écrire deux solutions mais il se peut qu’il n’y en ait qu’une.
9) La planète maths
Sur la planète Maths, un jour ne dure pas 24 heures comme sur la planète Terre. Sur le cadran de l’horloge d’un Mathsien, toutes les heures sont disposées en cercle à des intervalles égaux. L’aiguille des heures parcourt la même distance entre 1h et 9h qu’entre 10h et 2h.
Combien d’heures y a-t-il dans un jour sur cette planète?
10) Des entiers somme-somme-produit
Un entier somme-somme-produit est égal à la somme de la somme de ses chiffres et du produit de ses chiffres. Le nombre 59 est un exemple car:
Combien y a-t-il d’entiers somme-somme-produit à deux chiffres (en comptant 59)?
11) Les trois carrés
Mathias a dessiné trois carrés de côtés mesurant des nombres entiers de centimètres, dont deux sont identiques. La somme des aires des trois carrés est égale à 2025 cm2.
Combien mesure le périmètre du plus petit carré, ou de l’un d’eux s’ils sont identiques (en cm)?
Fin pour la catégorie C1 (élèves de 8e et 9e années).
12) Moyennons
Dans cette suite de nombres, chaque nombre à partir du deuxième est la moyenne des deux nombres qui l’encadrent.
Que vaut le nombre `C`?
13) Les scores du concours
Dans ce concours dont nous tairons le nom, les participants doivent répondre à 18 questions numérotées de 1 à 18, leur réponse à chaque question étant soit juste, soit fausse. Chacun obtient un premier score correspondant au nombre de réponses justes, et un second score correspondant à la somme des numéros des questions auxquelles ils ont répondu correctement. En cas d’égalité sur le premier score, les participants sont départagés grâce au second score. Il se trouve qu’au dernier concours il n’y a pas eu d’ex aequo après avoir pris en compte les deux scores.
Combien y a-t-il eu de concurrents à ce concours, au maximum?
14) Atteindre 2025
On peut construire une suite de nombres entiers en ajoutant à chaque nombre le double de la somme des chiffres qui le composent. Par exemple, en partant de 1000, on obtient:
- `1002 = 1000 + 2(1+ 0 + 0 + 0)`
- `1008 = 1002 + 2(1+ 0 + 0 + 2)`
- `1026 = 1008 + 2(1+ 0 + 0 + 8)`, et ainsi de suite.
- 1002 = 1000 +2 (1 +0 +0 +0)
- 1008 = 1002 +2 (1 +0 +0 +2)
- 1026 = 1008 +2 (1 +0 +0 +8), et ainsi de suite.
Combien de nombres de départ strictement inférieurs à 2025 permettent d’arriver au nombre 2025?
Fin pour la catégorie C2 (élèves de 10e et 11e années).
15) Des urnes et des boules
Deux joueurs s’affrontent. Chaque joueur a une urne blanche contenant deux balles noires et une urne noire contenant deux balles blanches. A chaque tour, le premier joueur prend une balle au hasard dans chacune de ses urnes et les échange, tandis que le deuxième joueur prend une balle au hasard dans son urne blanche, la met dans son urne noire, puis prend une balle au hasard dans son urne noire et la met dans son urne blanche. Le premier joueur qui se retrouve avec les balles blanches dans son urne blanche et les balles noires dans son urne noire gagne. En cas d’égalité, les deux joueurs ont gagné.
Quelle est la probabilité que le premier joueur gagne? On donnera la réponse sous la forme d’une fraction irréductible.
16) Cube à Sion
Au siècle dernier, une archéologue a retrouvé un cube vieux de 3000 ans. Elle a pu déterminer que le cube avait été fait de la façon suivante. Avec 27 petits cubes de bois, on a fait un grand cube, puis on a peint une face en rouge, une en bleu, une en vert, une en noir, une en marron et une en orange. Ensuite, les cubes ont été remélangés puis on a fait un autre grand cube avec, de sorte que seules les faces peintes des petits cubes sont visibles. Malheureusement ce cube a disparu dans un incendie peu après sa découverte. Il n’en reste que trois photos, qui hélas ont perdu certaines de leurs couleurs avec le temps. Aujourd’hui, la petite-fille de l’archéologue essaie de reconstituer les couleurs d’origine.
Aidez-la à les retrouver en complétant la troisième photo.
Fin pour les catégories L1 (étudiants en école post-obligatoire) et GP (adultes grand public).
17) Poupées russes
Mathilde voit un certain nombre de poupées russes. Elle sait qu’en tout il y a 13 poupées russes, numérotées de 1, la plus petite, à 13, la plus grande. Elle sait également que toutes les poupées qu’elle ne voit pas sont imbriquées les unes dans les autres dans les poupées qu’elle voit. Lorsque l’on ouvre une poupée, il y a au plus une autre poupée visible dedans, qui elle-même peut contenir une autre poupée, etc. Elle se demande comment sont imbriquées les poupées et se rend compte qu’il y a 2025 possibilités.
Quels sont les numéros des poupées qu’elle voit? On donnera les numéros dans l’ordre décroissant.
18) Tic-Tac-Toc
Tic et Tac sont un peu toqués. Tic attache les deux extrémités d’un élastique aux extrémités des aiguilles d’une horloge, la petite aiguille mesurant 2 cm et la grande aiguille 3 cm. Tac trace un point noir quelque part sur l’élastique (mais pas aux extrémités). Lorsque l’heure tourne, ce point noir va se déplacer, le rapport a/b restant constant (voir le dessin). On voit que la figure que trace le point noir se croise elle-même. Tic et Tac refont l’expérience et se rendent compte que cette fois-ci la figure tracée ne se croise plus elle-même.
Combien vaut le rapport a/b au maximum lorsque la figure ne se croise pas elle-même?
On écrira la réponse sous forme d’une fraction irréductible.
Fin pour les catégories L2 (étudiants en hautes écoles) et HC (adultes en haute compétition).
Vous avez terminé? Vous pouvez maintenant soumettre vos réponses en ligne avant le 31 janvier sur le site de la Fédération suisse des jeux mathématiques. Les solutions y seront également publiées début février.